在月球背面的諸多環(huán)形山中，有5座以中國古代天文學(xué)家命名，分別是祖沖之、郭守敬、張衡、石申和萬戶環(huán)形山。在5座環(huán)形山中，郭、張、石、萬4座都是1970年被國際天文聯(lián)合會(huì)正式批準(zhǔn)的，獨(dú)有位于月緯17.16°N，月經(jīng)145.16°E的祖沖之環(huán)形山早了9年，1961年就獲得了國際天文學(xué)會(huì)的認(rèn)可。

祖沖之環(huán)形山得名如此之早，同蘇聯(lián)有一定關(guān)系。這座名為環(huán)形山的隕石坑被1959年升空的蘇聯(lián)月球3號(hào)衛(wèi)星拍攝到，據(jù)參與該任務(wù)的蘇聯(lián)航天控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)師B.Y.切爾托克（Boris Yevseyevich Chertok）回憶，當(dāng)時(shí)蘇聯(lián)科學(xué)院決定用古代著名科學(xué)家和文化名人為環(huán)形山起名，還特別要求要包括一名美國和一名中國科學(xué)家。他們選擇家喻戶曉的愛迪生作為美國代表，但在選擇中國科學(xué)家時(shí)由于不熟，只能向中國駐蘇使館咨詢，最后中方反饋提供祖沖之，理由是祖沖之在公元5世紀(jì)作出了杰出數(shù)學(xué)成就——也就是眾所周知的圓周率π精確近似值以及約、密率。

若切爾托克所言屬實(shí)，祖沖之名列月背環(huán)形山，憑借的似乎并非天文學(xué)成就，但名列月背環(huán)形山又似乎暗示了他對(duì)天文學(xué)的貢獻(xiàn)。這段逸聞其實(shí)恰似后世對(duì)祖沖之的認(rèn)知，因?yàn)樗趫A周率推算上的成就太過醒目，所以人們往往在不知不覺中忽略了另一些事實(shí)，那就是他不僅是名出色的數(shù)學(xué)家，更是一位在歷法上作出不滅貢獻(xiàn)的天文學(xué)家。

中下層家族出身的學(xué)者

祖沖之，字文遠(yuǎn)，祖上是北方范陽（今河北淶水縣）人，他本人則是土生土長(zhǎng)的江南人。北方的范陽祖氏跑到南方生根，自然是因?yàn)槲鲿x末永嘉大亂，“洛京傾覆，中州士女避亂江左者十六七”（《晉書·王導(dǎo)傳》）。

祖沖之像

在北方，范陽祖氏世代都有人做到二千石一級(jí)的官員，連續(xù)九代人都被舉孝廉，但到了南方未能躋身大門閥士族的行列，一族中名氣最大的祖逖終生也不過是被追贈(zèng)車騎將軍，同王、謝家完全不能比擬。祖氏在朝堂地位的卑微與尷尬，從祖沖之曾祖父祖臺(tái)之的遭遇上就可以略見一斑。

東晉太元十七年（392）左右，祖臺(tái)之已做到尚書左丞，卻遭到太原王氏子弟王國寶的公開侮辱。史載，王國寶在某次宴會(huì)上喝醉之后，卷著袖子大罵祖臺(tái)之，還將盤盞樂器往他身上擲去，而祖臺(tái)之“不敢言”。在位的晉孝武帝司馬曜聽聞后，免去王國寶職務(wù)，又嫌祖臺(tái)之懦弱，“非監(jiān)司體”，同樣免官。

孝武帝嫌棄祖臺(tái)之怯懦，可王國寶家世赫赫，父親是孝武帝年幼時(shí)的輔政大臣王坦之，岳父是淝水之戰(zhàn)“矯情鎮(zhèn)物”的名相謝安，本人又同孝武帝和把持朝政的司馬道子關(guān)系密切，區(qū)區(qū)北方“傖荒”祖臺(tái)之又怎敢頂撞他？唯有忍氣吞聲而已。后來政局反復(fù)，桓玄執(zhí)政鏟除皇室和王、謝、庾等大族勢(shì)力，祖臺(tái)之便參與其中，以御史中丞名義彈劾中書侍郎范泰、前司徒左長(zhǎng)史王準(zhǔn)之、輔國將軍司馬珣之“居喪無禮”，迫使三人罷官，算是對(duì)世家子弟出了一口惡氣。

晉元熙二年、劉宋永初元年（420），劉裕滅東晉建立劉宋，祖家也像大多數(shù)人一樣繼續(xù)在朝廷任職。祖沖之祖父祖昌擔(dān)任過將作大匠（梁武帝時(shí)改名大匠卿），品秩為中二千石，負(fù)責(zé)朝廷的土木工程；父親祖朔之為奉朝請(qǐng)，為南朝安置閑散官的職務(wù)。正史中祖臺(tái)之本傳就只有一句話，祖昌和祖朔之甚至無傳，但讓人詫異的是，雖然父祖默默無聞，祖沖之卻在劉宋第四任皇帝孝武帝劉駿在位時(shí)翻了身，進(jìn)入世人的視野中。

祖沖之生于元嘉六年（429），比劉駿大一歲，史書中并未記載兩人早期有什么瓜葛，但劉駿即位后，立即讓祖沖之“直華林學(xué)省”，并“賜宅宇車服”（《南齊書·祖沖之傳》）。《宋書》中沒有“華林學(xué)省”的記載，但頻頻提到華林園，武帝、孝武帝多次在此親自聽取訴訟，少帝被弒前在華林園擺攤，可見是劉宋皇帝常去的一處園子，推測(cè)“直華林學(xué)省”為在華林園辦公的皇帝近侍應(yīng)屬合理。不僅如此，大明五年（461），祖沖之首次出仕（“釋褐”）就被任命為南徐州刺史劉子鸞的從事、公府參軍更值得世人深思：劉子鸞為劉駿最寵愛的兒子，只要父親看到什么好東西，“莫不入子鸞之府”，此外以皇子領(lǐng)大郡是劉宋壓服地方豪族的慣例，為了輔助這些不諳世事的皇子，往往會(huì)給他配屬精明能干的帝王心腹作為幕僚。大明五年時(shí)劉子鸞才5歲，遙領(lǐng)可能性更大，祖沖之到底是在南徐州處理公務(wù)還是在京城劉子鸞身邊雖不可知，但能廁身皇帝托付愛子的近臣行列，可見他同劉駿關(guān)系遠(yuǎn)較旁人想象得密切。

大約在此時(shí)期，得到皇帝充分信任的祖沖之才能作出一項(xiàng)牽涉學(xué)術(shù)外甚多的重大天文改革——修改傳統(tǒng)歷法，推出《大明歷》。

具有革新意義的《大明歷》

創(chuàng)造出燦爛農(nóng)業(yè)文明的中華先民出于生產(chǎn)需要，很早就對(duì)歷法產(chǎn)生了濃厚的興趣，而且經(jīng)過長(zhǎng)期的對(duì)日月運(yùn)行規(guī)律的觀察和總結(jié)，他們發(fā)展出了一套較為罕見的陰陽歷結(jié)合的歷法，即以一次月圓（或月缺）到下次月圓（或月缺）為基準(zhǔn)定月（朔望月），而以當(dāng)年冬至到次年冬至為基準(zhǔn)定年（回歸年）。這么定的好處在于以朔望月定月，抬頭即可確定時(shí)間，方便確定；以回歸年定年，每年季節(jié)大致相同，方便生產(chǎn)。

然而，朔望月實(shí)際是月球繞地周期時(shí)長(zhǎng)，回歸年是地球繞太陽時(shí)長(zhǎng)，兩者并不能整除，每月按大小月分別為30或29天，算下來12月為354天，但回歸年共365.25天，兩者有11天左右的差距。為解決此問題，古代天文歷法家采用置閏法加以補(bǔ)齊，也就是每隔兩三年就多加一個(gè)“閏月”，由此又衍生出一個(gè)新問題：那么到底該多少年置一閏月？

美國月球軌道器5號(hào)拍攝到的祖沖之環(huán)形山

解決方案早在先秦時(shí)期就被提出，人們?cè)趯?shí)踐中發(fā)現(xiàn)19個(gè)回歸年的時(shí)長(zhǎng)同235個(gè)朔望月差不多相當(dāng)，便在正常19年的228個(gè)月外另加7個(gè)閏月敉平差距。由于古人將19年稱為一“章歲”，19年7閏也就被稱為“章歲法”。從漢代開始流行的“四分歷”，正是基于“章歲法”制定的。

很顯然，“章歲法”只是一種近似，時(shí)間一長(zhǎng)誤差就會(huì)越來越大，到南北朝時(shí)人們已然發(fā)現(xiàn)，“章歲法”雖然能將日子合上，但每月時(shí)間卻同當(dāng)月原應(yīng)有的季節(jié)產(chǎn)生了偏差，對(duì)一個(gè)需要按月份節(jié)氣進(jìn)行農(nóng)業(yè)生產(chǎn)安排的國家來說，這無疑是天大的噩耗，修正歷法的需求也變得迫切起來。

最先對(duì)“章歲法”提出挑戰(zhàn)的是北涼學(xué)者趙，他于北涼玄始元年（412）制定《玄始?xì)v》（亦稱《元始?xì)v》），提出改用600年置221閏的方法。南朝修訂歷法的先驅(qū)是與祖沖之同為劉宋時(shí)人的何承天，他編撰的歷法于宋文帝元嘉二十二年（445）施行，被稱為《元嘉歷》。由于《元嘉歷》依然使用了“章歲法”，因而還是同實(shí)際有著誤差，祖沖之在經(jīng)過反復(fù)計(jì)算后，認(rèn)為趙600年置221閏月過少，但“章歲法”又過密，每200年就會(huì)多出一天，因而提出改為391年置144閏月。

何承天銅像，現(xiàn)藏南京六朝博物館

按祖沖之的算法，每年實(shí)際為365.24281481日，而現(xiàn)代天文學(xué)所測(cè)一年為365.24219879日，誤差只有65萬分之一，約50秒，這個(gè)精確紀(jì)錄直到608年被隋代天文學(xué)家張胄玄用《大業(yè)歷》的365.24203170日刷新。

祖沖之為什么能將回歸年確定得如此精確？最主要的原因，就是他引入了當(dāng)時(shí)最先進(jìn)天文發(fā)現(xiàn)成果—東晉天文學(xué)家虞喜確認(rèn)的赤道歲差。所謂赤道歲差，是一種地球自轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)引起的春分點(diǎn)位移現(xiàn)象?，F(xiàn)代人都知道，地球在太陽系中一面圍繞太陽公轉(zhuǎn)，一面沿南北極軸自轉(zhuǎn)，但地球與日、月乃至其他幾大行星間存在引力影響，因而自轉(zhuǎn)軸并非處于穩(wěn)定狀態(tài)，如果我們?cè)O(shè)想有一條通過地心并垂直于黃道面的線，就會(huì)發(fā)現(xiàn)地球自轉(zhuǎn)軸兩端在繞著該假想線緩慢畫圈轉(zhuǎn)動(dòng)，其結(jié)果就是從地面看，當(dāng)年冬至太陽所處位置同次年冬至點(diǎn)會(huì)有一段微小位移，大約是每年50.2秒，每71.66667年左右就會(huì)后移一度。

祖沖之銅像

領(lǐng)先千年的精準(zhǔn)圓周率

圓周長(zhǎng)和半徑之比π到底是多少？這不僅是人們研究天文必然遇到，更是他們只要進(jìn)行生產(chǎn)生活就會(huì)遇到的問題。人類最早有關(guān)圓周率的記載于約公元前16世紀(jì)的埃及萊因德數(shù)學(xué)紙草書（Rhind Mathematical Papyrus），算得圓周率為3.1605。當(dāng)時(shí)古埃及人常用經(jīng)驗(yàn)公式確定π值，方法也很簡(jiǎn)單：他們將谷子擺放在圓周和直徑上，通過計(jì)算谷子比例可以得到π的近似值。

中國古代最早的數(shù)學(xué)著作之一，約成書于西漢末的《周髀算經(jīng)》提到“圓徑一二周三”，顯然是將π值定為3，即古人所稱的“古率”，雖然只是π很粗略的近似值，但以當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)發(fā)展水平，沒有辦法算出更好的值，因而在成書于東漢初的《九章算術(shù)》中也都在使用“古率”。

中國人得出較為精確的π值始于西漢末新莽時(shí)期。新莽“始建國”中，王莽下令讓國師劉歆仿周禮制造一種銅斛，名為“律嘉量斛”（亦稱“新莽嘉量”），腦洞大開地將五種量具融于一體，“其上為斛、其下為斗，左耳為升，右耳為合，合下為龠”，背面銘文則說明了斛的具體尺寸：“方一尺而圓其外，庣旁九厘五毫，冪百六十二寸，深尺，積千六百二十寸半，容十斗。”這段文字中值得注意的是方、庣、冪。方是量斛內(nèi)底正中的邊長(zhǎng)為1尺，但并未同斛底圓壁接觸的正方形，庣是正方形頂點(diǎn)到斛底圓周的距離，因而斛底圓直徑就等于正方形對(duì)角線加兩庣距離，根據(jù)勾股定理容易算得半徑為0.7166尺，又已知圓面積“冪”為“百六十二寸”，則可反推劉歆所用π值約為3.1547。1956年，河南陜縣劉家渠隋墓中發(fā)現(xiàn)了另一件新莽“始建國元年銅撮”，同樣刻有類似的方、庣、冪，推算下來π值約為3.1679 。

新莽嘉量，又名律嘉量斛，現(xiàn)藏臺(tái)北故宮博物院

史書并沒有交代劉歆如何得出π值，有可能是依據(jù)改良后的經(jīng)驗(yàn)公式。此后東漢張衡、蔡邕也都是使用經(jīng)驗(yàn)公式給出了近似π值，張衡認(rèn)為等于3.1622（10開方）；蔡邕認(rèn)為等于25/8，直到魏晉之際，數(shù)學(xué)家劉徽在給《九章算術(shù)》做注時(shí)，才第一次給出求圓周率的幾何方法——割圓術(shù)。

《割圓術(shù)》全文共1800字，核心就是在構(gòu)造圓內(nèi)接正多變邊，利用計(jì)算正多邊形面積就可以得到近似圓面積，然后通過圓面積公式（圓面積等于π乘半徑平方）逆推出π值。在示例中，劉徽先在一個(gè)半徑為1尺的圓內(nèi)構(gòu)造出內(nèi)接正六邊形（從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)，以半徑為步長(zhǎng)與圓周相交，得到的6個(gè)點(diǎn)連接起來就是內(nèi)接正六邊形），然后根據(jù)內(nèi)接正六邊形構(gòu)造出為正十二邊形（沿圓心向正六邊形每邊中點(diǎn)作一條線，六條線延長(zhǎng)到圓周時(shí)又得到6個(gè)點(diǎn)，連接正六邊形頂點(diǎn)和新的6個(gè)點(diǎn)，就得到正12邊形）。以此類推，只要正多邊形邊越多，其面積就越接近于圓，π值就越精確。

劉徽像，出自紀(jì)念郵票《中國古代科學(xué)家第四組》

由于劉徽構(gòu)造的都是正多邊形，因而其面積可以簡(jiǎn)單用幾何方法通過勾股定理求出。劉徽在《割圓術(shù)》的第二部分中就給出了從正n邊形到正2n邊形的面積遞推公式，當(dāng)推導(dǎo)到正96邊形時(shí)，他就得出了π常用近似值3.14。然而更值得嘆服的是他對(duì)數(shù)據(jù)的后續(xù)處理，當(dāng)割到正192邊形時(shí)，他得到面積314又64/625寸平方，通過“差冪”法，也就是將正192邊形和正96邊形面積相減數(shù)據(jù)乘2加在正96邊形面積上，就可以得到：正192邊形面積<圓面積<正96邊形面積+差冪×2，通過加權(quán)平均計(jì)算，能夠得到π值3.1416。

阿基米德割圓術(shù)示意圖，他通過同時(shí)構(gòu)造圓內(nèi)接和外切正多邊形，然后計(jì)算其周長(zhǎng)以取得周長(zhǎng)近似值，重復(fù)該步驟求得圓周率約為3.1409<π<3.1429。阿基米德的算法需要同時(shí)計(jì)算內(nèi)接和外切正多邊形，計(jì)算量較割圓術(shù)大不少，同時(shí)由于割圓術(shù)利用“差冪”的思路接近數(shù)值分析中“最小二乘法”，數(shù)值精度會(huì)更高

祖沖之正是在劉徽等人的基礎(chǔ)上，同他兒子祖暅（亦有記載為祖暅之）將圓周率推到一個(gè)新高峰，精確到小數(shù)點(diǎn)后7位。有關(guān)他計(jì)算圓周率的史料僅見于《隋書·律歷志》：“祖沖之更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間。密率圓徑一百一十三，圓周三百五十五，約率圓徑七，周二十二?！?/p>

這段話使用了古代數(shù)學(xué)表達(dá)方式，因而顯得比較費(fèi)解?！耙詧A徑一億為一丈”可以理解為他計(jì)算的數(shù)位多達(dá)9位（一億），以此數(shù)位開始計(jì)算，才能將結(jié)果算到后面直到小數(shù)點(diǎn)后7位“忽”；盈數(shù)朒數(shù)都是相對(duì)于圓周率而言，是說他求出的圓周率滿足不等式3.1415926（朒）<π<3.1415927（盈），此外他還給出了兩個(gè)方便的近似值約率（22/7，約等于3.14285714）和密率（355/113，約等于3.14159292）。

綜合考慮當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)水平，后世多認(rèn)為祖沖之是沿著劉徽割圓術(shù)的道路前進(jìn)，算到正3072邊形再輔以“內(nèi)插法”，才算出了精度如此之高的π值。盡管他使用的仍然是幾何方法，但國外要直到15世紀(jì)才由中亞數(shù)學(xué)家阿爾卡西（al-Kashi）打破了他的記錄，計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后14位，更為精確的計(jì)算則要等到18世紀(jì)中葉后，西方數(shù)學(xué)家掌握無窮級(jí)數(shù)、積分、冪級(jí)數(shù)展開等近代數(shù)學(xué)工具才得以實(shí)現(xiàn)。

劉徽割圓術(shù)計(jì)算示意圖，當(dāng)正六邊形(綠色部分)被割為正十二邊形(綠、紅、藍(lán)部分)后，d所示紅色部分可以利用勾股定理求得，該部分即為“差冪”(正十二邊形減去正六邊形的面積之差)，該“差冪”乘2即為長(zhǎng)方形ABCD面積。圖中可見，圓面積大于正十二邊形面積，但小于正六邊形加ABCD面積(劉徽不等式)，由此可確定介于一較大數(shù)和一較小數(shù)之間的π值，重復(fù)此步驟可得更為精確的π值

此外，不容忽略的是，祖沖之給出了簡(jiǎn)便而又精度甚高的約率和密率，約率大概是根據(jù)劉徽給出π近似值157/50而來，通過解不定方程，得到第一組解即為22/7，而密率大約為祖沖之獨(dú)創(chuàng)，但后世已不知道他是如何求出此解，只能猜測(cè)可能是使用了何承天的“調(diào)日法”（數(shù)值逼近的內(nèi)插法），或是使用了連分?jǐn)?shù)法求最佳漸進(jìn)分?jǐn)?shù)，又或是同樣用不定方程求解得出355/113，但不管是何種方法，西方都直到1573年才由德國數(shù)學(xué)家重新算出。以是而言，祖沖之對(duì)圓周率的計(jì)算領(lǐng)先世界千年之久。

學(xué)術(shù)成果命運(yùn)多舛

大明六年（462），祖沖之將自己耗費(fèi)多年心血的《大明歷》呈給宋孝武帝，卻遭到孝武帝寵信戴法興的堅(jiān)決反對(duì)，群臣畏懼戴法興的權(quán)勢(shì)，紛紛贊成他的意見。祖沖之反復(fù)駁難，直到大明八年才說服孝武帝，預(yù)定次年改元同時(shí)改歷。沒想到當(dāng)年孝武帝就去世，此事就擱置下來。南齊代劉宋，祖沖之的《大明歷》又獲得文惠太子蕭長(zhǎng)懋的支持，結(jié)果又在準(zhǔn)備實(shí)施前蕭長(zhǎng)懋去世，此事又被擱置。直到梁代齊后的天監(jiān)九年（510）才在祖暅再三上奏下實(shí)施，而此時(shí)祖沖之已去世10年，距離他制定歷法的王朝都更替到第三個(gè)了。

好在，祖沖之和他兒子光輝的學(xué)術(shù)成果遠(yuǎn)比一切命運(yùn)打擊都更為長(zhǎng)久。千年以降，祖沖之之名不僅沒有被人遺忘，還走出國門，登上月球，而曾權(quán)傾一世、打壓祖沖之成果的戴法興之流，除了能作為故事中的反派偶爾被人提及，還有誰會(huì)記得呢？